Ein positiver Test ist keine Diagnose.
Die meisten Ärzte und die meisten Patientinnen liegen hier falsch. Dieselbe Test-Zahl — etwa eine zu 90% sensitive Mammographie — liefert völlig verschiedene Antworten, je nachdem wie häufig die Krankheit ist. Schieb an den Reglern unten: das ist das Bayes-Theorem in Aktion.
Von allen positiv Getesteten ist das der Anteil, der tatsächlich krank ist. Der Rest ist Fehlalarm.
Bayes' Theorem, ausgeschrieben.
Posterior gleich Likelihood mal Prior, geteilt durch die Gesamtwahrscheinlichkeit der Evidenz. Das Kontraintuitive: der Nenner besteht bei seltenen Krankheiten fast nur aus Fehlalarmen.
Warum die Mathematik so kontraintuitiv ist.
1763 — ein posthumer Essay.
Thomas Bayes, presbyterianischer Pfarrer und Mathematik-Amateur, hinterlässt einen unveröffentlichten Essay. Richard Price publiziert ihn zwei Jahre nach Bayes' Tod. Eingeführt wird die Idee, Annahmen mathematisch mit Evidenz zu aktualisieren. Fast zwei Jahrhunderte bleibt das am Rand der Statistik.
1978 — Ärzte fallen durch.
David Eddy legt 100 amerikanischen Ärzten das klassische Mammographie-Problem vor: 1% Prävalenz, 80% Sensitivität, 90% Spezifität. Die meisten schätzen die Wahrscheinlichkeit nach positivem Test auf etwa 75%. Korrekt: unter 8%. Es ist nicht Unachtsamkeit — die menschliche Intuition ignoriert die Basisrate.
1995 — natürliche Häufigkeiten lösen es.
Gigerenzer und Hoffrage formulieren das Problem in natürlichen Häufigkeiten ("Von 1000 Frauen haben 10 Krebs; 8 davon werden positiv getestet; von den verbleibenden 990 werden 99 auch positiv getestet — wie hoch ist die Chance?"). Plötzlich antworten Ärzte richtig. Die Mathematik ist identisch, nur die Formulierung änderte sich.
Heute — Screening ist von Seltenheit dominiert.
Bei seltenen Krankheiten produziert selbst ein fast perfekter Test überwiegend Fehlalarme. Darum wird Bevölkerungs-Screening kontrovers diskutiert: nicht weil der Test schlecht wäre, sondern weil die Basisraten niedrig sind. Bayes' Theorem ist kein Argument gegen Tests — sondern dafür, die Bedeutung eines positiven Ergebnisses zu verstehen, bevor man reagiert.
- Bayes, T. (1763) — An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. Phil. Trans. R. Soc. 53.
- Eddy, D. M. (1982) — Probabilistic reasoning in clinical medicine. In: Kahneman/Slovic/Tversky, Judgment under Uncertainty.
- Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995) — How to improve Bayesian reasoning without instruction. Psychological Review 102.
- US Preventive Services Task Force (2024) — Breast Cancer Screening Recommendation Statement.